AI笔记（2）：神经网络基础

1.算法基础与逻辑回归

逻辑回归(Logistic regression) 是一个用于二分类的算法。

1.1 二分类问题与机器学习基础

二分类就是输出 只有 {0,1} 两个离散值(也有 {-1,1} 的情况)。我们以一个「图像识别」问题为例，判断图片是否是猫。识别是否是「猫」，这是一个典型的二分类问题——0代表「非猫(not cat)」，1代表「猫(cat)」。

从机器学习的角度看，我们的输入 此时是一张图片，彩色图片包含RGB三个通道，图片尺寸为 。

有些神经网络的输入是一维的，我们可以将图片 (维度 )展平为一维特征向量(feature vector)，得到的特征向量维度为 。我们一般用列向量表示样本，把维度记为 。

如果训练样本有 张图片，那么我们用矩阵存储数据，此时数据维度变为 。

• 矩阵 的行 代表了每个样本 特征个数
• 矩阵 的列 代表了样本个数。

我们可以对训练样本的标签 也做一个规整化，调整为1维的形态，标签 的维度为 。

1.2 逻辑回归算法

逻辑回归是最常见的二分类算法，它包含以下参数：

• 输入的特征向量： ，其中 是特征数量
• 用于训练的标签：
• 权重：
• 偏置：
• 输出：

输出计算用到了Sigmoid函数，它是一种非线性的S型函数，输出被限定在 之间，通常被用在神经网络中当作激活函数(Activation Function)使用。

Sigmoid函数的表达式如下：

实际上，逻辑回归可以看作非常小的一个神经网络。

1.3 逻辑回归的损失函数

在机器学习中，**损失函数(loss function)**用于量化衡量预测结果与真实值之间的差距，我们会通过优化损失函数来不断调整模型权重，使其最好地拟合样本数据。

在回归类问题中，我们会使用均方差损失(MSE)：

但是在逻辑回归中，我们并不倾向于使用这样的损失函数。逻辑回归使用平方差损失会得到非凸的损失函数，它会有很多个局部最优解。梯度下降法可能找不到全局最优值，从而给优化带来困难。

因此我们调整成使用对数损失(二元交叉熵损失)：

刚才我们给到的是单个训练样本中定义的损失函数，它衡量了在单个训练样本上的表现。我们定义代价函数(Cost Function，或者称作成本函数)为全体训练样本上的表现，即 个样本的损失函数的平均值，反映了 个样本的预测输出与真实样本输出 的平均接近程度。

成本函数的计算公式如下：

2.梯度下降法(Gradient Descent)

刚才我们了解了损失函数(Loss Function)与成本函数定义，下一步我们就要找到最优的 和 值，最小化 个训练样本的Cost Function。这里用到的方法就叫做梯度下降(Gradient Descent)算法。

在数学上，1个函数的梯度(gradient)指出了它的最陡增长方向。也就是说，沿着梯度的方向走，函数增长得就最快。那么沿着梯度的负方向走，函数值就下降得最快。

模型的训练目标是寻找合适的 与 以最小化代价函数值。我们先假设 与 都是一维实数，则代价函数 关于 与 的图如下所示：

上图中的代价函数 是一个凸函数，只有一个全局最低点，它能保证无论我们初始化模型参数如何(在曲面上任何位置)，都能够寻找到合适的最优解。

基于梯度下降算法，得到以下参数 的更新公式：

公式中 为学习率，即每次更新的 的步长。

成本函数 中对应的参数 更新公式为：

3.计算图(Computation Graph)

对于神经网络而言，训练过程包含了两个阶段：前向传播(Forward Propagation)和反向传播(Back Propagation)。

• 前向传播是从输入到输出，由神经网络前推计算得到预测输出的过程
• 反向传播是从输出到输入，基于Cost Function对参数 和 计算梯度的过程。

下面，我们结合一个例子用计算图(Computation graph)的形式来理解这两个阶段。

3.1 前向传播(Forward Propagation)

假如我们的Cost Function为 ，包含 、 、 三个变量。

我们添加一些中间变量，用 表示 ， 表示 ，则 。

整个过程可以用计算图表示：

在上图中，我们让 ， ， ，则 ， ， 。

计算图中，这种从左到右，从输入到输出的过程，就对应着神经网络基于 和 计算得到Cost Function的前向计算过程。

3.2 反向传播(Back Propagation)

我们接着上个例子中的计算图讲解反向传播，我们的输入参数有 、 、 三个。

① 先计算 对参数 的偏导数

从计算图上来看，从右到左， 是 的函数， 是 的函数。基于求导链式法则得到：

② 计算 对参数 的偏导数

从计算图上来看，从右到左， 是 的函数， 是 的函数， 是 的函数。同样可得：

③ 计算 对参数 的偏导数

此时从右到左， 是 的函数， 是 的函数， 是 的函数。可得：

这样就完成了从右往左的反向传播与梯度(偏导)计算过程。

4.逻辑回归中的梯度下降法

回到我们前面提到的逻辑回归问题，我们假设输入的特征向量维度为2(即 )，对应权重参数 、 、 得到如下的计算图：

反向传播计算梯度

① 求出 对于 的导数

② 求出 对于 的导数

③ 继续前推计算

④ 基于梯度下降可以得到参数更新公式

前面提到的是对单个样本求偏导和应用梯度下降算法的过程。对于有 个样本的数据集，Cost Function 、 和 权重参数 的计算如图所示。

完整的Logistic回归中某次训练的流程如下，这里仅假设特征向量的维度为2：

J=0; dw1=0; dw2=0; db=0;
for i = 1 to m   z(i) = wx(i)+b;   a(i) = sigmoid(z(i));  
J+= -[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i));  
dz(i) = a(i)-y(i);   dw1 += x1(i)dz(i);   dw2 += x2(i)dz(i);  
db += dz(i); J /= m; dw1 /= m; dw2 /= m; db /= m;

接着再对 、 、 进行迭代。

上述计算过程有一个缺点：整个流程包含两个for循环。其中：

• 第一个for循环遍历 个样本
• 第二个for循环遍历所有特征

如果有大量特征，在代码中显示使用for循环会使算法很低效。向量化可以用于解决显式使用for循环的问题。

5.向量化(Vectorization)

继续以逻辑回归为例，如果以非向量化的循环方式计算 ，代码如下：

z = 0;for i in range(n_x):    z += w[i] * x[i]z += b

基于向量化的操作，可以并行计算，极大提升效率，同时代码也更为简洁：

z = np.dot(w, x) + b

不用显式for循环，实现逻辑回归的梯度下降的迭代伪代码如下：